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分类讨论思想在教学中的应用

[ 作者:佚名 文章来源:网络转载 更新时间:2018-2-8 19:13:08| 收藏本文 ]
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新课标指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。所以在数学教学中有效地渗透,培养数学思想方法,已逐渐成为数学、课改的热点。所谓数学思想,是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括:函数与方程思想,化归思杨,分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想,它贯穿于整个初中数学,它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

本文从分类讨论思想的概念和特点,引起分类讨论的原因,以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开,比较系统全面地介绍了分类讨论思想。

一、分类讨论思想的概念

分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略,就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别,然后逐类进行研究,求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时,根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,再按照一定的原则或某一确定的标准,在比较的基础上,将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分,进行逐类讨论,最后把几类结论汇总,从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁为简,将一个复杂的问题分为几个简单的问题,分而治之。

二、引起分类讨论的原因

分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题,其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面:

1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。

2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的,或者是分类给出的。

3.含有字母系数(参数)的问题,有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。

4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置,不确定的结论等都要进行分类讨论。

三、解答分类讨论型问题的步骤

分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起,不论是在分类中探究,还是在探究中分类,都需要具备扎实的基础知识,和灵活的思维方式,对问题进行全面衡量、统筹兼顾,切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识,克服想当然的错误习惯。

通常解答分类讨论型问题的一般步骤是:

1.确定分类对象。

2.对问题中的某些条件进行分类,要遵循同一标准,进行合理分类。(需理清分类的界限,选择分类标准,并做到不重复,补遗漏。

3.逐类进行讨论。(有时分类并不是一次完成,还须进行逐级分类,对于不同级的分类,其分类标准不一定统一。

4.对各类讨论结果进行归纳,并加以整合,归纳出结论。运用分类讨论思想解决问题时要在确保正确的基础上尽量减少分类,使问题解决过程简洁化。

四、分类讨论思想在初中数学教学中的渗透与应用举例

初中数学教学中处处都渗透着分类讨论思想。应用分类讨论思想解题对学生的能力要求较高,除了在课堂教学中渗透、提炼外,还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会,得到强化。克服分类讨论中的盲目性和随意性,提高学生的综合运用此种数学思想解题的能力。下面我主要从上面提到的引起分类讨论的原因在教学中的应用举例说明;

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1.由概念引起的分类;

例:等腰三角形的一个内角为50°,则其它两个内角为(D)

A.50°,80°B.65°,65°C.50°,65°D.50°,80°或65°,65°

分析:题目中等腰三角形的一个内角50°是锐角,所以本题要分类讨论它可以指顶角,也可以指底角。

2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的,或者是分类给出的。

例:一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-4≤x≤8,相应的函数值的取值范围是-5≤y≤1,则这个函数的解析式为或。

分析:此题目涉及到一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性。所以本题应该分k>0和k<0两种情况讨论得出。

4.对各类讨论结果进行归纳,并加以整合,归纳出结论。运用分类讨论思想解决问题时要在确保正确的基础上尽量减少分类,使问题解决过程简洁化。

例:在半径为1的圆O中,弦AB,AC的长分别是,,则∠BAC的度数是15°或75°。

分析:本题因为圆是轴对称图形,所以当确定其中的一条弦后,另一条弦可以在过点A的直径的左边,也可以在它的右边。所以本题应分成这两种情况进行讨论。

从以上的例题中不难看出,分类讨论思想在初中数学练习的运用中占有很重要的地位。这就要求我们在学习数学的同时要不断积累数学知识,形成知识网络,领悟其中蕴含在数学教学内容中的数学思想方法,以提高学生自身的数学解题能力。所以在教学中要对分类讨论思想,有意识地加以渗透;对于蕴含在数学知识中的思想适时予以揭示,反复强化以优化学生的思维品质。分类讨论思想能够提高学生的数学解题能力,促使学生全面而周密地分析和思考问题,促进并提升思维的逻辑性和严谨性,有效克服思维的片面性。



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